从零实现HNSW向量索引：分层图结构、贪婪搜索与启发式邻居选择

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Snowplow5180 发表于 2026/10/06 22:29:38 2026/10/06
【摘要】 在上一篇文章中，我们从零实现了一个Raft共识算法，覆盖了领导者选举、日志复制与安全性约束。那篇文章聚焦的是分布式系统的一致性。这一次我们回到AI基础设施的核心数据结构，目标是一个完整的HNSW（Hierarchical Navigable Small World）向量索引。向量检索正在成为AI应用的基础能力。RAG系统需要从百万级文档中检索与查询语义最相关的片段，推荐系统需要从千万级物品中...

在上一篇文章中，我们从零实现了一个Raft共识算法，覆盖了领导者选举、日志复制与安全性约束。那篇文章聚焦的是分布式系统的一致性。这一次我们回到AI基础设施的核心数据结构，目标是一个完整的HNSW（Hierarchical Navigable Small World）向量索引。

向量检索正在成为AI应用的基础能力。RAG系统需要从百万级文档中检索与查询语义最相关的片段，推荐系统需要从千万级物品中找到最相似的候选，图像搜索需要从海量图片中定位视觉上最接近的结果。这些场景的共同需求是：在高维空间中快速找到与查询向量距离最近的K个向量。

传统方案是暴力搜索——计算查询向量与所有向量的距离，返回最近的K个。时间复杂度O(N*D)，N是向量数量，D是维度。对于100万条768维向量，单次查询需要计算7.68亿次浮点运算，延迟在秒级，完全无法满足在线服务的要求。

近似最近邻（ANN）算法牺牲少量精度换取数量级的性能提升。HNSW是目前工业界最主流的ANN算法，被Milvus、Qdrant、Weaviate、PgVector等主流向量数据库广泛采用。它的核心思想是用多层图结构模拟"跳表"的搜索路径，上层稀疏用于快速跳转，下层稠密用于精确查找。

本文用纯前端JavaScript从零实现一个完整的HNSW向量索引，不依赖任何库。完整链路是：距离度量 → 概率层分配 → 图结构插入 → 贪婪搜索 → 启发式邻居选择 → KNN查询。最后会讨论HNSW的调参策略和性能特征。

一、核心概念：为什么是分层图

HNSW的灵感来自两个方向。一个是跳表（Skip List）——通过在有序链表上构建多级索引，把查找复杂度从O(N)降到O(log N)。另一个是可导航小世界图（Navigable Small World）——在图中维护长程连接和短程连接，使得贪婪搜索能够快速收敛。

HNSW把这两个思想结合起来：用一个多层图结构，上层稀疏（长程连接）用于快速接近目标区域，下层稠密（短程连接）用于精确查找。搜索时从最上层开始，每层执行贪婪搜索找到最近的入口点，然后下降到下一层继续搜索，直到最底层。

理解这个结构的关键是：上层节点是下层节点的子集。每个节点被分配到一个最大层数L，该节点出现在第0层到第L层的所有图层中。层数越高，节点越少，边越长，搜索跳转越快。

二、距离度量与向量操作

HNSW支持任意距离度量，只要满足三角不等式。最常用的是欧氏距离和余弦相似度。

javascript
// 向量操作工具
const VectorOps = {
  // 欧氏距离的平方（避免开方，加速比较）
  euclideanDistanceSq(a, b) {
    let sum = 0;
    for (let i = 0; i < a.length; i++) {
      const diff = a[i] - b[i];
      sum += diff * diff;
    }
    return sum;
  },

  // 余弦相似度转距离：1 - cos(a, b)
  cosineDistance(a, b) {
    let dot = 0, normA = 0, normB = 0;
    for (let i = 0; i < a.length; i++) {
      dot += a[i] * b[i];
      normA += a[i] * a[i];
      normB += b[i] * b[i];
    }
    if (normA === 0 || normB === 0) return 1;
    return 1 - dot / (Math.sqrt(normA) * Math.sqrt(normB));
  },

  // 内积距离：-dot(a, b)
  innerProductDistance(a, b) {
    let dot = 0;
    for (let i = 0; i < a.length; i++) {
      dot += a[i] * b[i];
    }
    return -dot;
  }
};

距离函数的选择必须与向量的归一化方式匹配。如果用余弦相似度，向量应该在插入前归一化为单位长度，这样余弦相似度可以简化为内积。实践中，大多数嵌入模型输出的向量已经是归一化的，因此内积距离是最高效的选择。

三、概率层分配

HNSW的层分配遵循指数衰减分布。每个节点被分配到一个最大层数L，分配规则是：

javascript
class HNSWIndex {
  constructor(options = {}) {
    this.M = options.M || 16;                    // 每个节点的最大连接数（第0层）
    this.Mmax = options.Mmax || 16;              // 第0层的最大连接数
    this.Mmax0 = options.Mmax0 || 2 * this.M;    // 第0层以上的最大连接数
    this.efConstruction = options.efConstruction || 200;  // 构建时的搜索宽度
    this.mL = 1 / Math.log(this.M);              // 层分配的概率因子
    this.vectors = [];                            // 所有向量
    this.graphs = [];                             // 每层的邻接表
    this.entryPoint = null;                       // 入口节点
    this.maxLevel = -1;                           // 当前最大层
  }

  // 随机生成一个层数
  randomLevel() {
    let level = 0;
    while (Math.random() < Math.exp(-1 / this.mL) && level < 32) {
      level++;
    }
    return level;
  }
}

mL的取值是1 / ln(M)。当M=16时，mL约等于0.36。这个分布的期望层数是1 / (1 - exp(-1/mL))，约等于1.6层。大多数节点只出现在第0层，少数节点出现在更高层，极少数节点出现在最高层。以100万个节点为例，第0层有100万个节点，第1层约36万个，第2层约13万个，第3层约4.7万个，以此类推。最高层通常只有几个节点。

这个概率分布保证了上层图足够稀疏，搜索时可以快速跳转；下层图足够稠密，可以精确查找。

四、图结构插入

插入一个新节点是HNSW最复杂的操作。它涉及三个步骤：找到每层的插入位置、选择邻居、更新连接。

javascript
class HNSWIndex {
  // ... 之前的代码

  // 插入一个向量
  insert(vector, id = null) {
    const nodeId = id !== null ? id : this.vectors.length;
    const level = this.randomLevel();

    // 存储向量
    this.vectors[nodeId] = vector;

    // 如果图还是空的，直接作为入口节点
    if (this.entryPoint === null) {
      this.entryPoint = nodeId;
      this.maxLevel = level;
      for (let l = 0; l <= level; l++) {
        this.graphs[l] = new Map();
        this.graphs[l].set(nodeId, new Set());
      }
      return;
    }

    // 确保图结构存在到 level 层
    for (let l = this.graphs.length; l <= level; l++) {
      this.graphs[l] = new Map();
    }

    // 初始化新节点在各层的邻接表
    for (let l = 0; l <= level; l++) {
      this.graphs[l].set(nodeId, new Set());
    }

    // 从入口节点开始，从上到下逐层搜索
    let currentNode = this.entryPoint;
    let currentDist = this._distance(vector, this.vectors[currentNode]);

    // 1. 从最高层下降到 level+1 层，只做贪婪搜索找入口点
    for (let l = this.maxLevel; l > level; l--) {
      const result = this._greedySearch(vector, currentNode, l);
      currentNode = result.node;
      currentDist = result.dist;
    }

    // 2. 从 level 层到第0层，每层都做插入
    const ep = new Set([currentNode]);
    for (let l = Math.min(level, this.maxLevel); l >= 0; l--) {
      // 在当前层搜索 efConstruction 个最近邻
      const candidates = this._searchLayer(vector, ep, this.efConstruction, l);

      // 选择 M 个邻居（第0层用 Mmax0，其他层用 Mmax）
      const maxConn = l === 0 ? this.Mmax0 : this.Mmax;
      const neighbors = this._selectNeighborsHeuristic(vector, candidates, maxConn);

      // 建立双向连接
      for (const neighbor of neighbors) {
        this.graphs[l].get(nodeId).add(neighbor.node);
        this.graphs[l].get(neighbor.node).add(nodeId);

        // 检查邻居的连接数是否超过上限
        const neighborConn = this.graphs[l].get(neighbor.node);
        if (neighborConn.size > maxConn) {
          // 需要裁剪邻居的连接
          this._shrinkConnections(neighbor.node, l, maxConn);
        }
      }

      // 更新入口点集合
      ep.clear();
      for (const c of candidates) ep.add(c.node);
    }

    // 更新入口点和最大层
    if (level > this.maxLevel) {
      this.maxLevel = level;
      this.entryPoint = nodeId;
    }
  }

  // 在指定层从入口点开始贪婪搜索
  _greedySearch(query, entryNode, level) {
    let currentNode = entryNode;
    let currentDist = this._distance(query, this.vectors[currentNode]);
    let changed = true;

    while (changed) {
      changed = false;
      const neighbors = this.graphs[level].get(currentNode) || new Set();

      for (const neighbor of neighbors) {
        const dist = this._distance(query, this.vectors[neighbor]);
        if (dist < currentDist) {
          currentDist = dist;
          currentNode = neighbor;
          changed = true;
        }
      }
    }

    return { node: currentNode, dist: currentDist };
  }
}

插入的核心逻辑是：从最高层开始贪婪搜索找到入口点，然后逐层下降。在每一层，用efConstruction参数控制搜索宽度——搜索越宽，找到的邻居越好，但构建越慢。搜索到的候选节点经过启发式选择后，成为新节点的邻居，同时新节点也成为它们的邻居。

五、启发式邻居选择

邻居选择是HNSW性能的关键。最简单的策略是选择距离最近的M个节点。但这会导致一个问题：如果所有邻居都聚集在同一个方向，图就会失去连通性，搜索容易陷入局部最优。

HNSW使用启发式选择来解决这个问题。它的核心思想是：在候选集合中，优先选择那些与其他已选邻居距离较远的节点，从而保证邻居在空间中均匀分布。

javascript
class HNSWIndex {
  // ... 之前的代码

  _selectNeighborsHeuristic(query, candidates, M) {
    // 按距离升序排列
    const sorted = [...candidates].sort((a, b) => a.dist - b.dist);
    const selected = [];
    const discarded = [];

    for (const candidate of sorted) {
      if (selected.length >= M) break;

      // 检查候选节点是否应该被保留
      let keep = true;
      for (const chosen of selected) {
        const distBetween = this._distance(
          this.vectors[candidate.node],
          this.vectors[chosen.node]
        );
        // 如果候选节点到已选节点的距离小于它到查询的距离，则不保留
        if (distBetween < candidate.dist) {
          keep = false;
          break;
        }
      }

      if (keep) {
        selected.push(candidate);
      } else {
        discarded.push(candidate);
      }
    }

    // 如果选出的邻居不够M个，从被丢弃的候选中补充
    while (selected.length < M && discarded.length > 0) {
      selected.push(discarded.shift());
    }

    return selected;
  }

  // 裁剪邻居连接
  _shrinkConnections(node, level, maxConn) {
    const connections = this.graphs[level].get(node);
    if (connections.size <= maxConn) return;

    // 将连接转为候选列表
    const candidates = [];
    for (const neighbor of connections) {
      candidates.push({
        node: neighbor,
        dist: this._distance(this.vectors[node], this.vectors[neighbor])
      });
    }

    // 使用启发式选择保留 maxConn 个连接
    const selected = this._selectNeighborsHeuristic(
      this.vectors[node], candidates, maxConn
    );

    // 更新邻接表
    const newConnections = new Set();
    for (const s of selected) {
      newConnections.add(s.node);
    }

    // 删除被移除的连接（双向）
    for (const oldNeighbor of connections) {
      if (!newConnections.has(oldNeighbor)) {
        this.graphs[level].get(oldNeighbor)?.delete(node);
      }
    }

    this.graphs[level].set(node, newConnections);
  }
}

启发式选择的核心判断是distBetween < candidate.dist。如果候选节点到某个已选邻居的距离，比它到查询的距离还近，说明这两个节点在空间上高度重叠，保留候选节点不会增加图的多样性，反而浪费了连接配额。这个判断保证了选出的邻居在空间中尽可能分散。

六、KNN查询

查询是插入的逆过程。从入口点开始，逐层向下贪婪搜索，最底层用efSearch参数控制搜索宽度。

javascript
class HNSWIndex {
  // ... 之前的代码

  // KNN 查询
  search(query, k, efSearch = 50) {
    if (this.entryPoint === null) return [];

    let currentNode = this.entryPoint;
    let currentDist = this._distance(query, this.vectors[currentNode]);

    // 1. 从最高层下降到第1层
    for (let l = this.maxLevel; l > 0; l--) {
      const result = this._greedySearch(query, currentNode, l);
      currentNode = result.node;
      currentDist = result.dist;
    }

    // 2. 在第0层用 efSearch 宽度搜索
    const candidates = this._searchLayer(
      query,
      new Set([currentNode]),
      Math.max(efSearch, k),
      0
    );

    // 3. 返回最近的 k 个
    return candidates
      .sort((a, b) => a.dist - b.dist)
      .slice(0, k)
      .map(c => ({ id: c.node, distance: c.dist }));
  }

  // 在指定层搜索最近的 ef 个候选
  _searchLayer(query, entryPoints, ef, level) {
    const visited = new Set();
    const candidates = [];   // 最小堆（按距离升序）
    const results = [];      // 最大堆（按距离降序）

    // 初始化
    for (const ep of entryPoints) {
      if (visited.has(ep)) continue;
      visited.add(ep);
      const dist = this._distance(query, this.vectors[ep]);
      candidates.push({ node: ep, dist });
      results.push({ node: ep, dist });
    }

    // 维护最小堆和最大堆
    candidates.sort((a, b) => a.dist - b.dist);
    results.sort((a, b) => b.dist - a.dist);

    while (candidates.length > 0) {
      // 取出最近的候选
      const current = candidates.shift();

      // 如果当前候选比结果集中最远的还远，停止搜索
      if (results.length >= ef && current.dist > results[0].dist) {
        break;
      }

      const neighbors = this.graphs[level].get(current.node) || new Set();

      for (const neighbor of neighbors) {
        if (visited.has(neighbor)) continue;
        visited.add(neighbor);

        const dist = this._distance(query, this.vectors[neighbor]);

        // 如果结果集未满，或者距离小于结果集中最远的
        if (results.length < ef || dist < results[0].dist) {
          candidates.push({ node: neighbor, dist });
          candidates.sort((a, b) => a.dist - b.dist);

          results.push({ node: neighbor, dist });
          results.sort((a, b) => b.dist - a.dist);

          // 如果结果集超过 ef，移除最远的
          if (results.length > ef) {
            results.shift();
          }
        }
      }
    }

    return results;
  }

  // 距离函数（默认欧氏距离）
  _distance(a, b) {
    let sum = 0;
    for (let i = 0; i < a.length; i++) {
      const diff = a[i] - b[i];
      sum += diff * diff;
    }
    return Math.sqrt(sum);
  }
}

_searchLayer是HNSW的核心搜索算法。它维护两个数据结构：candidates是最小堆（按距离升序），用于决定下一个要扩展的节点；results是最大堆（按距离降序），用于维护当前找到的最近的ef个候选。搜索的终止条件是：最近的候选节点比结果集中最远的节点还远，说明不可能找到更好的结果了。

七、完整测试与性能对比

把所有部分串联起来，测试一个中等规模的索引：

javascript
function testHNSW() {
  const DIM = 128;
  const N = 10000;
  const K = 10;

  // 生成随机向量
  function randomVector() {
    const v = new Float32Array(DIM);
    for (let i = 0; i < DIM; i++) {
      v[i] = Math.random() * 2 - 1;
    }
    // 归一化
    let norm = 0;
    for (let i = 0; i < DIM; i++) norm += v[i] * v[i];
    norm = Math.sqrt(norm);
    for (let i = 0; i < DIM; i++) v[i] /= norm;
    return v;
  }

  // 构建索引
  const index = new HNSWIndex({ M: 16, efConstruction: 200 });

  console.log('构建索引...');
  const buildStart = performance.now();
  const vectors = [];
  for (let i = 0; i < N; i++) {
    const v = randomVector();
    vectors.push(v);
    index.insert(v, i);
  }
  const buildTime = performance.now() - buildStart;
  console.log(`构建 ${N} 条向量耗时: ${buildTime.toFixed(2)}ms`);

  // 查询测试
  const queries = [];
  for (let i = 0; i < 100; i++) {
    queries.push(randomVector());
  }

  // HNSW 查询
  console.log('\nHNSW 查询...');
  const hnswStart = performance.now();
  const hnswResults = [];
  for (const q of queries) {
    hnswResults.push(index.search(q, K, 50));
  }
  const hnswTime = performance.now() - hnswStart;
  console.log(`HNSW 查询 100 次耗时: ${hnswTime.toFixed(2)}ms`);
  console.log(`平均单次: ${(hnswTime / 100).toFixed(3)}ms`);

  // 暴力搜索对比
  console.log('\n暴力搜索...');
  const bruteStart = performance.now();
  const bruteResults = [];
  for (const q of queries) {
    const dists = [];
    for (let i = 0; i < N; i++) {
      dists.push({ id: i, dist: VectorOps.euclideanDistanceSq(q, vectors[i]) });
    }
    dists.sort((a, b) => a.dist - b.dist);
    bruteResults.push(dists.slice(0, K));
  }
  const bruteTime = performance.now() - bruteStart;
  console.log(`暴力搜索 100 次耗时: ${bruteTime.toFixed(2)}ms`);
  console.log(`平均单次: ${(bruteTime / 100).toFixed(3)}ms`);

  // 计算召回率
  let totalRecall = 0;
  for (let i = 0; i < queries.length; i++) {
    const hnswIds = new Set(hnswResults[i].map(r => r.id));
    const bruteIds = new Set(bruteResults[i].map(r => r.id));
    let hit = 0;
    for (const id of hnswIds) {
      if (bruteIds.has(id)) hit++;
    }
    totalRecall += hit / K;
  }
  console.log(`\n平均召回率: ${(totalRecall / queries.length * 100).toFixed(2)}%`);
}

testHNSW();

在Chrome上的典型结果：构建10000条128维向量耗时约2-3秒，HNSW单次查询约0.5-1ms，暴力搜索单次查询约5-10ms，加速比10倍以上。召回率在95%以上（efSearch=50）。

如果扩展到100万条向量，HNSW的查询延迟通常在1-5ms，而暴力搜索需要500-1000ms，加速比达到百倍以上。这正是HNSW在工业界被广泛采用的原因。

八、参数调优与工程考量

HNSW有三个核心参数，它们之间存在明确的权衡：

M（每层最大连接数）。M越大，图越稠密，搜索质量越高，但内存占用和构建时间也越大。典型值在16到64之间。M=16适用于大多数场景，M=32适合高维向量（如768维以上），M=64适合对召回率要求极高的场景。

efConstruction（构建时的搜索宽度）。efConstruction越大，构建时找到的邻居越好，图的质量越高。典型值在100到500之间。efConstruction=200是通用配置，efConstruction=500适合对索引质量要求极高的离线场景。

efSearch（查询时的搜索宽度）。efSearch越大，查询时搜索的候选越多，召回率越高，但延迟也越大。efSearch是运行时参数，可以在查询时动态调整。efSearch=50通常能达到95%以上的召回率，efSearch=200能达到99%以上。

内存占用是HNSW的主要成本。每个节点在第0层最多有Mmax0=2M个连接，在第1到L层最多有Mmax=M个连接。对于100万个节点、M=16的索引，第0层需要100万32个连接，每个连接存储一个整数ID（4字节），约128MB。加上向量本身的存储（100万128维4字节=512MB），总内存约640MB。如果向量维度更高或M更大，内存占用会线性增长。

九、与IVF、PQ的对比

HNSW不是唯一的ANN算法。工业界常用的还有IVF（倒排文件索引）和PQ（乘积量化）。

IVF将向量空间划分为K个聚类，查询时只在最近的几个聚类中搜索。它的优势是内存占用低（只需要存储聚类中心和向量ID），构建速度快。缺点是召回率受聚类质量影响大，且不支持增量插入。

PQ将高维向量切分为多个子空间，对每个子空间做量化编码。它的优势是内存占用极低（每个向量压缩到几字节），适合十亿级规模。缺点是量化误差导致召回率损失，通常需要与IVF组合使用（IVF-PQ）。

HNSW的优势是召回率高、查询延迟低、支持增量插入。缺点是内存占用大、构建速度慢。在百万级到千万级向量、对延迟敏感的场景中，HNSW是首选。在十亿级向量、内存受限的场景中，IVF-PQ更合适。

实际生产中，Milvus和Qdrant等向量数据库通常同时支持HNSW和IVF-PQ，用户可以根据数据规模和延迟要求选择合适的索引类型。

十、总结

从距离度量到概率层分配，从图结构插入到启发式邻居选择，从贪婪搜索到KNN查询——这个HNSW向量索引的核心代码不到300行，但覆盖了现代向量检索的全部关键机制。

HNSW的核心设计哲学是用分层图结构模拟跳表的搜索路径：上层稀疏用于快速跳转，下层稠密用于精确查找。概率层分配保证了图的层次结构自然形成，启发式邻居选择保证了图在空间中的连通性和多样性，贪婪搜索保证了查询的高效性。

理解了这套最小内核，再去看Milvus的HNSW实现、Qdrant的图索引、Faiss的HNSW模块，会发现它们在架构上遵循的是同一套思路——分层图、启发式选择、ef参数控制搜索宽度。差异只在工程细节：并行化构建、SIMD距离计算、磁盘持久化、增量更新。HNSW是这一切的起点。

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