有界性定理证明

题目

若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，那么函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有界。

证明：

用反证法，不妨设$f(x)$在在闭区间$[a,b]$上无上界，那么一定可以在闭区间$[a,b]$上取到一组数列$\{x_n\}$，使得

$$f(x_1)>1\\ f(x_2)>2\\ f(x_3)>3\\ \vdots\\ f(x_n)>n\\ \vdots\\$$

因为数列$\{x_n\}\subset[a,b]$，所以数列$\{x_n\}$是有界数列，根据致密性定理，数列$\{x_n\}$有收敛子数列$\{x_{n_k}\}$，设其极限为$x_0$，即

$$\lim_{k\to+\infty}x_{n_k}=x_0\\$$

因为$a\leq x_{n_k}\leq b$，由极限的保不等式性知，$a\leq x_0\leq b$，所以函数$f$在点$x_0$处连续，即

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\\$$

由海涅定理知，

$$\lim_{k\to+\infty}f(x_{n_k})=\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\tag{1}$$

又因为$f(x_{n_k})>n_k$，而$\lim\limits_{k\to+\infty}n_k=+\infty$，故

$$\lim_{k\to+\infty}f(x_{n_k})=+\infty\tag{2}$$

(1)和(2)矛盾，故假设不成立，用同样的方法可以证明$f(x)$在在闭区间$[a,b]$上无下界。
得证。