深入理解贝叶斯定理

什么是贝叶斯定理？

贝叶斯定理，以 18 世纪英国数学家托马斯贝叶斯命名，是确定条件概率的数学公式。条件概率是基于在类似情况下发生的先前结果的结果发生的可能性。贝叶斯定理提供了一种在给定新的或额外的证据的情况下修改现有预测或理论（更新概率）的方法。

在金融领域，贝叶斯定理可用于评估贷款给潜在借款人的风险。该定理也称为贝叶斯规则或贝叶斯定律，是贝叶斯统计领域的基础。

关键要点

• 贝叶斯定理允许您通过合并新信息来更新事件的预测概率。
• 贝叶斯定理以 18 世纪数学家托马斯·贝叶斯的名字命名。
• 它通常在金融中用于计算或更新风险评估。
• 该定理已成为实现机器学习的有用元素。
• 由于执行交易所需的大量计算能力，该定理被使用了两个世纪。

理解贝叶斯定理

贝叶斯定理的应用广泛且不限于金融领域。例如，贝叶斯定理可用于通过考虑任何特定人患疾病的可能性和测试的一般准确性来确定医学测试结果的准确性。贝叶斯定理依赖于合并先验概率分布以生成后验概率。

在贝叶斯统计推断中，先验概率是在收集新数据之前发生事件的概率。换句话说，它代表了在进行实验之前基于当前知识对特定结果概率的最佳理性评估。

后验概率是在考虑新信息后修正的事件发生概率。后验概率是通过使用贝叶斯定理更新先验概率来计算的。在统计术语中，后验概率是在事件 B 已经发生的情况下，事件 A 发生的概率。

特别注意事项

因此，贝叶斯定理基于与该事件相关或可能相关的新信息给出事件的概率。该公式还可用于确定事件发生的概率如何受假设的新信息的影响，假设新信息将被证明是真实的。

例如，考虑从一副完整的 52 张牌中抽取一张牌。

这张牌是国王的概率是 4 除以 52，等于 1/13 或大约 7.69%。请记住，甲板上有四个国王。现在，假设显示选择的牌是一张面牌。选定的牌是国王的概率，假设它是一张脸牌，是 4 除以 12，或大约 33.3%，因为一副牌中有 12 张脸牌。

公式

贝叶斯定理的例子

下面是贝叶斯定理的两个示例，其中第一个示例显示了如何在使用 Amazon.com Inc. ( AMZN ) 的股票投资示例中得出该公式。第二个示例将贝叶斯定理应用于药物测试。

推导贝叶斯定理公式

贝叶斯定理简单地来自条件概率公理。条件概率是给定另一个事件发生的事件的概率。例如，一个简单的概率问题可能会问：“Amazon.com 股价下跌的概率是多少？” 条件概率通过询问更进一步地提出了这个问题：“鉴于道琼斯工业平均指数(DJIA) 指数较早下跌，AMZN 股价下跌的概率是多少？ ”

给定 B 已经发生的 A 的条件概率可以表示为：

如果 A 是：“AMZN 价格下跌”，那么 P(AMZN) 是 AMZN 下跌的概率；B 是：“DJIA 已经下跌”，P(DJIA) 是 DJIA 下跌的概率；然后条件概率表达式读作“在道琼斯工业平均指数下跌的情况下，AMZN 下跌的概率等于 AMZN 价格下跌和道琼斯工业平均指数下跌的概率超过 DJIA 指数下跌的概率。

P(AMZN|DJIA) = P(AMZN 和 DJIA) / P(DJIA)

P(AMZN and DJIA) 是 A 和 B 同时发生的概率 。这也与 A 发生的概率乘以在 A 发生的情况下 B 发生的概率相同，表示为 P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)。这两个表达式相等的事实导致了贝叶斯定理，写成：

如果，P(AMZN 和 DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)

那么，P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA)。

其中 P(AMZN) 和 P(DJIA) 是亚马逊和道琼斯指数下跌的概率，彼此无关。

该公式解释了在看到 P(AMZN) 的证据之前假设的概率与获得证据 P(AMZN|DJIA) 之后的假设概率之间的关系，假设亚马逊给出了道琼斯指数的证据。

贝叶斯定理的数值例子

作为一个数字示例，假设有一个 98% 准确的药物测试，这意味着 98% 的时间，它显示使用该药物的人的真阳性结果，而 98% 的时间，它显示真阴性结果对于药物的非使用者。

接下来，假设 0.5% 的人使用该药物。如果随机选择的人对该药物呈阳性反应，则可以进行以下计算以确定该人实际上是该药物使用者的概率。

(0.98 x 0.005) / [(0.98 x 0.005) + ((1 - 0.98) x (1 - 0.005))] = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76%

贝叶斯定理表明，即使一个人在这种情况下检测呈阳性，也有大约 80% 的机会该人不服用该药物。

经常问的问题。

贝叶斯定理的历史是什么？

该定理是在英国长老会牧师和数学家 托马斯·贝叶斯的论文中发现的，并在 1763 年被皇家学会宣读后发表。由于布尔计算长期被忽视，贝叶斯定理最近由于计算能力的提高而变得更加流行用于执行其复杂的计算。

这些进步导致使用贝叶斯定理的应用增加。它现在被应用于各种概率计算，包括财务计算、遗传学、药物使用和疾病控制。

贝叶斯定理说明了什么？

贝叶斯定理指出，基于另一个事件的发生，一个事件的条件概率等于给定第一个事件的第二个事件的可能性乘以第一个事件的概率。

贝叶斯定理中计算了什么？

贝叶斯定理根据特定相关已知概率的值计算事件的条件概率。

什么是贝叶斯定理计算器？

贝叶斯定理计算器计算一个事件 A 以另一个事件 B为条件的概率，给定 A 和 B的先验概率，以及B以A为 条件 的概率 。它根据已知概率计算条件概率。

贝叶斯定理如何用于机器学习？

贝叶斯定理提供了一种有用的方法来思考数据集和概率之间的关系。换句话说，该定理说，基于特定观察数据的给定假设为真的概率可以表示为找到在给定假设的情况下观察数据的概率乘以无论数据如何，假设为真的概率，除以通过不考虑假设而观察数据的概率。

底线

在最简单的情况下，贝叶斯定理采用测试结果并将其与给定其他相关事件的测试结果的条件概率相关联。对于高概率误报，定理给出了特定结果的更合理的可能性。