下面阐述直方图均衡化的数学原理。首先作原始图像灰度的概率直方图如图

设输入像素灰度值为 $r_k$，累计分布函数为

$$C\left( r_k \right) =\frac{1}{n}\sum_{i=0}^k{n_i}$$

其中 $n_i$为图像中灰度值为 $r_i$的像素频数， $n$为图像像素总数。设输出像素灰度值为 $s_k$，像素范围为 $s_{min}-s_{max}$。期望输出灰度直方图是均匀分布，即

$$P\left( s \right) =\frac{1}{s_{\max}-s_{\min}}\,\, s_{\min}\leqslant s\leqslant s_{\max}$$

令 $C\left( s_k \right) =C\left( r_k \right)$，即得

$$\left( C\left( r_k \right) _{\max}-C\left( r_k \right) _{\min} \right) \frac{s_k-s_{\min}}{s_{\max}-s_{\min}}+C\left( r_k \right) _{\min}=C\left( r_k \right) \\\Rightarrow \,\, \frac{s_k-s_{\min}}{s_{\max}-s_{\min}}=\frac{C\left( r_k \right) -C\left( r_k \right) _{\min}}{C\left( r_k \right) _{\max}-C\left( r_k \right) _{\min}}\\\Rightarrow \,\, \frac{s_k-s_{\min}}{s_{\max}-s_{\min}}=C'\left( r_k \right)$$

所以最终直方图均衡化的点算子为

$$s_k=\left( s_{\max}-s_{\min} \right) C'\left( r_k \right) +s_{\min}=T\left( r_k \right)$$

4 代码实战

按照前文的原理编写累积分布函数计算公式，以及均衡化算子

# 计算累计分布函数
def C(rk):
  # 读取图片灰度直方图
  # bins为直方图直方柱的取值向量
  # hist为bins各取值区间上的频数取值
  hist, bins = np.histogram(rk, 256, [0, 256])
  # 计算累计分布函数
  return hist.cumsum()

# 计算灰度均衡化映射
def T(rk):
  cdf = C(rk)
  # 均衡化
  cdf = (cdf - cdf.min()) * (255 - 0) / (cdf.max() - cdf.min()) + 0
  return cdf.astype('uint8')

均衡化时直接调用函数即可，下面给出完整代码

import numpy as np
import cv2 as cv
from matplotlib import pyplot as plt

# 计算累计分布函数
def C(rk):
  # 读取图片灰度直方图
  # bins为直方图直方柱的取值向量
  # hist为bins各取值区间上的频数取值
  hist, bins = np.histogram(rk, 256, [0, 256])
  # 计算累计分布函数
  return hist.cumsum()

# 计算灰度均衡化映射
def T(rk):
  cdf = C(rk)
  # 均衡化
  cdf = (cdf - cdf.min()) * (255 - 0) / (cdf.max() - cdf.min()) + 0
  return cdf.astype('uint8')


# 读取图片
img = cv.imread('1.png', 0)
# 将二维数字图像矩阵转变为一维向量
rk = img.flatten()

# 原始图像灰度直方图
plt.hist(rk, 256, [0, 255], color = 'r')
cv.imshow("原图像",img)

# 直方图均衡化
imgDst = T(rk)[img]
cv.imshow("直方图均衡化后的图像",imgDst)
plt.hist(imgDst.flatten(), 256, [0, 255], color = 'b')

plt.show()

看看效果：

均衡化前：

均衡化后：

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🚀 计算机视觉基础教程说明

章号                                    内容
  0               色彩空间与数字成像
  1               计算机几何基础
  2               图像增强、滤波、金字塔
  3               图像特征提取
  4               图像特征描述
  5               图像特征匹配
  6               立体视觉
  7               项目实战

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