本文是 2021年春季学期-信号与系统-第四次作业参考答案 的内容。

▌第九道题

9. (a) Consider an LTI system with input and output related through the equation:

$$y\left(t\right)={\int }_{-\infty }^t{e}^{-\left(t-\tau \right)}x\left(\tau -2\right)d\tau$$

What is the impulse response $h\left(t\right)$ for this system?

(b) Determine the response of the system when the input $x\left(t\right)$ is as shown in Figure:

▌求解

解：

(a)

系统的单位冲击响应：

$$h\left(t\right)={\int }_{-\infty }^t{e}^{-\left(t-\tau \right)}\cdot \delta \left(\tau -2\right)d\tau =e^{-\left(t-2\right)}\cdot u\left(t-2\right)$$

(b)

$x\left(t\right)$与$h\left(t\right)$的卷积，可以使用图解方法辅助求解：

(1) t<1

$$x\left(t\right)\ast h\left(t\right)=0$$

(2) 1<=t<4

$$x\left(t\right)\ast h\left(t\right)={\int }_0^{t-1}{e}^{-\tau }\cdot d\tau =-1{e^{-\tau }|}_0^{t-1}=1-e^{-\left(t-1\right)}$$

(3) t >= 4

$$x\left(t\right)\ast h\left(t\right)={\int }_{t-4}^{t-1}{e}^{-\tau }\cdot d\tau$$$$=-1{e^{-\tau }|}_{t-4}^{t-1}=e^{-t+4}-e^{-t+1}=\left(e^4-e^1\right)e^{-t}$$

▌附件

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