《压缩感知理论及其研究进展》读书笔记

说实话，今天阅读了这篇论文之后，即赞叹又疑惑，想了好久才写这篇读书笔记的，而这想了好久是在想要不要回避这篇论文，最后还是决定，提出自己的疑惑与不适，去面对吧。

可能是由于关于压感的论文大家写的很多了，重复描述是一个问题，可压感就是压感，基本的问题怎么不重复呢？于是各种表达方式出现了，本文就是一种，和我一直以来看的关于压感的某些描述不太一样，这让我觉得不适应，且这种不一样，也只是在形式上做的文章，过多的我就不在发表观点了。本文在结构上还是不错的，内容也比较完整，侧重点也很清晰，即理论以及研究进展的总结，这也是我比较赞赏的地方。创新也是建立在理解与展望的基础之上的，以后压感要写论文，可以在应用上下文章，我还不是太清晰，那就继续阅读下去吧。

————————————————————————————————————————————————————

引入介绍：

压缩感知理论与传统奈奎斯特采样定理不同,它指出 ,只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的,那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上,然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号, 可以证明这样的投影包含了重构信号的足够信息。在该理论框架下, 采样速率不决定于信号的带宽,而决定于信息在信号中的结构和内容。

显然,在压缩感知理论中,图像/信号的采样和压缩同时以低速率进行, 使传感器的采样和计算成本大大降低,而信号的恢复过程是一个优化计算的过程，因此,该理论指出了将模拟信号直接采样压缩为数字形式的有效途径，具有直接信息采样特性。由于从理论上讲任何信号都具有可压缩性,只要能找到其相应的稀疏表示空间,就可以有效地进行压缩采样 ,这一理论必将给信号采样方法带来一次新的革命。

压缩感知理论框架引入：

1、传统框架：

考虑一个实值的有限维的一维离散时间信号X，可以看作一个  空间内的一个列向量，元素为X[n],n= 1,2,...,N，R^N空间的任何信号都可以用N ×1维的基向量  的线性组合表示。为简化问题,假定 这些基是规范正交的.把向量  作为列向量形成 N ×N 的基矩阵 ，于是任意信号X 都可以表示为：

其中  是投影系数构成的N*1维列向量。

显然,X 和 Θ 是同一个信号的等价表示 , X  是信号在时域的表示, Θ 则是信号在  域的表示。如果 Θ 的非零个数比 N 小很多 , 则表明该信号是可压缩的。 一般而言 , 可压缩信号是指可以用 K  个大系数很好地逼近的信号 , 即它在某个正交基下的展开的系数按一定量级呈现指数衰减 ,具有非常少的大系数和许多小系数 .这种通过变换实现压缩的方法称为变换编码。

变换编码在数据采样系统中,比如数码相机,发挥了重要作用.在这些系统中,采样速率高但信号是可压缩的,采样得到 N 点采样信号 X ;通过 Θ=Χ^TX 变换后计算出完整的变换系数集合{θi };确定 K 个大系数 的位置,然后扔掉 N-K 个小系数;对K个大系数的值和位置进行编码,从而达到压缩的目的。

显然,这种传统的以奈奎斯特采样定理为准则的 高速采样后再压缩的过程浪费了大量的采样资源.例如数码相机具有百万像素的图像传感器,最后却只使用到对图像进行变换压缩后的几百 Kbyte 的数据。

2、压感框架：

近两年兴起的压缩感知理论表明 ,可以在不丢失逼近原信号所需信息的情况下,用最少的观测次数来采样信号,实现信号的降维处理,即直接对信号进行较少采样得到信号的压缩表示,且不经过进行 N 次采样的中间阶段,从而在节约采样和传输成本的情况下,达到了在采样的同时进行压缩的目的。

压缩感知理论指出,设长度为 N 的信号 X 在某组正交基或紧框架Χ上的变换系数是稀疏的,如果我们用一个与变换基不相关的观测基:M ×N(M<<N)对系数向量进行线性变换,并得到观测集合 Y :M ×1 .那么就可以利用优化求解方法从观测集合中精确或离概率地重构原始信号 X .

压缩感知理论是一种新的在采样的同时实现压缩目的的理论框架 ,其压缩采样过程如下图所示.

首先 ,如果信号 X ∈ R^N在某个正交基或紧框架Χ上是可压缩的 ,求出变换系数 ,Θ是Χ的等价或逼近的稀疏表示 ;

第二步,设计一个平稳的、与变换基不相关的 M ×N 维的观测矩阵,对Θ进行观测得到观测集合, 该过程也可以表示为信号 X 通过矩阵 A^CS进行非自适应观测 :Y =A^CSX(其中 A^CS=ΥΧ^T),A^CS称为 CS 信息算子;最后,利用0-范数意义下的优化问题求解 X 的 精确值或近似逼近X：

压感主要涉及的内容：

压缩感知理论主要涉及以下几个方面的内容 :

(1)对于信号 X ∈ R^N, 如何找到某个正交基或紧框架 ,使其在 上的表示是稀疏的,即信号的稀疏表示问题 .

(2)如何设计一个平稳的、与变换基  不相关的M ×N 维的观测矩阵 , 保证稀疏向量Θ从N 维降维到M维时重要信息不遭破坏,即信号低速采样问题 .

(3)如何设计快速重构算法,从线性观测 Y =A^CSX 中恢复信号,即信号重构问题 .

上述这三个问题，大多论文大同小异，不在叙述，参考：

《压缩感知回顾与展望》读书笔记

（论文讲来讲去都是这个问题的描述，也不见得谁能提出比较使用的解决方案）

具体参考原论文：压缩感知理论及其研究进展

之后论文又普及性的介绍了AIC（模拟信息转换器）。

以及研究的公开问题。

结束了，以后有想法再继续吧。

文章来源: reborn.blog.csdn.net，作者：李锐博恩，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

原文链接：reborn.blog.csdn.net/article/details/80642242